Matematikawan Temukan Angka “Mustahil” Setelah 32 Tahun – DW – 12/07/2023

Setelah tiga dekade mencari, ahli matematika yang dipersenjatai dengan superkomputer akhirnya menentukan sebuah nilai bilangan kompleks Sebelumnya dianggap tidak mungkin untuk dihitung: contoh baru bilangan bulat khusus yang disebut bilangan Dedekind.

di antara banyak Teka-teki matematika Bilangan Dedekind, yang ditemukan oleh matematikawan Jerman Richard Dedekind pada abad ke-19, telah memikat imajinasi dan keingintahuan para matematikawan selama bertahun-tahun.

Sampai saat ini, hanya delapan edisi pertama Dedekind yang diketahui, tetapi sekarang, dalam peristiwa yang mengejutkan, dua kelompok penelitian independen dari Catholique University of Louvain dan University of Paderborn telah mencapai hal yang tidak terpikirkan dan memecahkannya. masalah matematika Akun Dedekind Nomor Sembilan.

Kedua studi tersebut, salah satunya muncul di server prepress arXiv pada 5 April Dan lainnya pada tanggal 6 April Sama sekali tidak berhubungan satu sama lain, mereka datang ke nomor yang sama persis.

Edisi kesembilan d (9)

Nomor, yang dikenal sebagai “Bilangan Dedekind Kesembilan” atau D(9), yang dihitung sama dengan 286386577668298411128469151667598498812366 digit dibandingkan dengan 23 digit D(8), ditemukan pada tahun 1991 – sebenarnya merupakan urutan kesepuluh.

Setiap nomor Dedekind mewujudkan jumlah kemungkinan konfigurasi dari jenis operasi logika benar-salah yang diberikan dalam dimensi spasial yang berbeda. Angka pertama dalam urutan, D(0), mewakili dimensi nol. Jadi D(9), yang mewakili sembilan dimensi, adalah bilangan kesepuluh dalam deret tersebut.

Konsep bilangan Dedekind sulit dipahami oleh mereka yang tidak menyukai matematika, apalagi memecahkannya. Nyatanya, perhitungannya cukup rumit, karena bilangan Dedekind bertambah secara eksponensial dengan setiap dimensi baru. Ini berarti bahwa mereka semakin sulit untuk ditentukan, dan jumlah yang terlibat sangat besar sehingga pendeteksian nilai D(9) pernah dianggap tidak pasti.

“Selama 32 tahun, menghitung D(9) merupakan tantangan terbuka, dan patut dipertanyakan apakah angka ini dapat dihitung,” Ilmuwan komputer Lennart van Hertom berkata, dari University of Paderborn (Jerman).

Nomor Dedekind

Angka Dedekind adalah rangkaian bilangan bulat yang meningkat. Inti dari bilangan Dedekind adalah “fungsi logis monotonik”, yang merupakan bentuk logika yang memilih keluaran berdasarkan masukan yang hanya terdiri dari dua kemungkinan status (biner), seperti benar dan salah, atau 0 dan 1.

Fungsi unary Boolean adalah yang membatasi logika sehingga mengubah 0 menjadi 1 pada input hanya mengubah output dari 0 menjadi 1, bukan dari 1 menjadi 0.

Untuk mengilustrasikan konsep ini, para peneliti menggunakan merah dan putih, bukan 1 dan 0, meskipun ide dasarnya sama.

“Pada dasarnya, fungsi logis yang monoton dengan dua, tiga, dan dimensi tak terbatas dapat dianggap sebagai permainan dengan kubus n-dimensi,” kata van Hertom. “Anda menyeimbangkan kubus di satu sudut dan kemudian mewarnai setiap sudut yang tersisa dengan warna putih atau merah.”

“Hanya ada satu aturan: Anda tidak boleh meletakkan sudut putih di atas sudut merah. Ini menciptakan semacam salib merah-putih vertikal. Tujuan permainan ini adalah untuk menghitung berapa banyak potongan berbeda yang ada,” dia ditambahkan. .

Dengan demikian, bilangan Dedekind menyatakan jumlah maksimum kemungkinan pemotongan atau perpotongan yang dapat dibuat dalam sebuah kubus berukuran n yang memenuhi aturan. Dalam hal ini, n dimensi kubus sesuai dengan bilangan Dedekind n.

Misalnya, Dedekind kedelapan memiliki 23 digit, yang merupakan jumlah maksimum potongan berbeda yang dapat dibuat dalam kubus delapan dimensi dengan memenuhi aturan tersebut.

Hitung angka kesembilan Dedekind

Pada tahun 1991, superkomputer Cray-2 (salah satu komputer paling kuat saat itu, tetapi kurang kuat dibandingkan smartphone modern) dan matematikawan Doug Wiedemann membutuhkan waktu 200 jam untuk menghitung D(8).

D(9) akhirnya menjadi hampir dua kali lebih panjang dari D(8), dan memerlukan jenis superkomputer khusus: yang menggunakan unit khusus yang disebut field programmable gate arrays (FPGAs) yang dapat melakukan banyak komputasi secara paralel. Ini mengarahkan tim ke superkomputer Noctua 2 di Universitas Paderborn.

Karena kerumitan komputasi dalam menghitung bilangan Dedekind kesembilan untuk D(9), tim menggunakan rumus koefisien-P yang dikembangkan oleh direktur tesis master Van Hirtum, Patrick de Cosmacker. Melakukan faktor-P memungkinkan tim untuk menghitung angka kesembilan Dedekind menggunakan jumlah besar alih-alih menghitung setiap suku dalam deret.

“Dalam kasus kami, dengan memanfaatkan simetri dalam rumus, kami dapat mengurangi jumlah suku menjadi ‘hanya’ 5,5×1018, yang merupakan jumlah yang sangat besar. Sebagai perbandingan, butiran pasir di Bumi berukuran sekitar 7,5×1018, yang tidak signifikan, tetapi untuk komputer Hiper modern, operasi 5,5 x 1018 cukup dapat dikelola,” kata van Hertem, yang percaya bahwa menghitung angka kesepuluh Dedekind akan membutuhkan lompatan serupa dalam kekuatan pemrosesan komputer.

“Jika kita melakukannya sekarang, itu akan membutuhkan kekuatan pemrosesan yang sama dengan kekuatan penuh matahari,” katanya, membuat perhitungannya lagi “hampir tidak mungkin”.

Diedit oleh Felipe Espinosa Wang.